下面代码与字都是蒟蒻自己一个一个字打得,如有错误,请大佬指出(我实在太菜了)
这有神犇boish的 树状数组心得
写得比这一篇好多了

前置知识:搞懂树状数组

树状数组最基本的操作:单点修改($logN$)+区间查询($logN$),上方已经有了,这里就不提了;
其实树状数组还有很多作用

废话不多讲,先看题【模板】树状数组 2

其实这就是

区间修改+单点查询

这利用差分思想
原本:设差分数组$b[i]=a[i]-a[i-1]$,则$a[i]=b[1]+…+b[i] (b[1]=a[1]-a[0],a[0]=0) $

b[1]+...+b[i]这个东西是不是很熟悉?
没错,这就前缀和

如何快速的求和,这就用树状数组存处差分数组即可

那么如何修改?

设要修改的区间是$[x,y]$加上k

我们b数组是差分数组,差分的修改只要在x处加k,y+1处减k就行了

同理在树状数组上进行同样操作,code:


void add(int x, long long num) { while (x <= n) { tree[x]+=num; x += lowbit(x); } } long long query(int x) { long long ans = 0; while (x) { ans += tree[x]; x -= lowbit(x); } return ans; }

时间复杂度:区间修改($logN$)与单点求和($logN$)


(滑稽的分割线)

区间修改+区间查询

线段树 1
看到这个,一定会想到线段树,可蒟蒻不会,只好用树状数组(其实代码挺短的)

这里还是运用差分思想
区间修改还是和以前一样
那么如何查询???
我们来看式子

$ a[1]+a[2]+…+a[n] $
$= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + … + (c[1]+c[2]+ … +c[n]) $

利用乘法分配率:可以得
$n * c[1] + (n-1) * c[2] + … +c[n] $
然后就得到了神奇的式子~高能预警

$\color{red}{n * (c[1]+c[2]+…+c[n]) – (0 * c[1]+1 * c[2]+…+(n-1) * c[n])}$

由公式可以发现    我们要进行区间修改和区间查询只需要再维护一个数组$C2[i] = (i-1) * C[i]$即可

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,tree[100005],tree1[100005];
inline void add(long long*z,long long x,long long num){
    while(x<=n)z[x]+=num,x+=x&(-x);
}
inline long long getsum(long long*z,long long x){
    long long sum=0;
    while(x>0)sum+=z[x],x-=x&(-x);
    return sum;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    long long a,b=0;
    for(long long i=1;i<=n;i++)cin>>a,b=a-b,add(tree,i,b),add(tree1,i,(i-1)*b),b=a;
    for(long long i=1;i<=m;i++){
        int t,x,y,z;
        cin>>t;
        if (t==1){
            cin>>x>>y>>z;
            add(tree,x,z);
            add(tree,y+1,-z);
            add(tree1,x,z*(x-1));
            add(tree1,y+1,-z*y);
        }
        else{
            cin>>x>>y;
            cout<<(y*getsum(tree,y)-getsum(tree1,y))-((x-1)*getsum(tree,x-1)-getsum(tree1,x-1))<<endl;
        }
    }
    return 0;
} 

区间最值

先看题:
I Hate It
很多人都认为,树状数组不能求解最值,那是应为把树状数组看成前缀和
but,cssyz金牌教练把树状数组叫做

二进制分块

为啥?
看张图(来自boshi大佬)

每一个下标,表示的是一块区间
前面求区间和,是把区间合在一起就行了

同理,区间最值也应该是全部块的最大值。

先来看$[1,n]$区间最值
每一个下标,比如11001000,就是下标1100xxxx这些的最大值
我们可以写出这样维护的代码

void add(int n){
     for(int i=1;i<=n;i++){
          c[i]=a[i],int t=lowbit(i);
          for(int j=1;j<t;j*=2) c[i]=max(c[i],c[i-j]);
    }
}

每一次更新一个数时候,把整个树状数组全部更新一遍
但显然,复杂度太高,$ O(nlogn) $

我们再想一想:
对于每一个$c[i]$,在保证$c[1…i-1]$都正确的前提下,要重新计算$c[i]$值的时间复杂度是$ O(logn) $
so 我们可以换一种建区间维护方法

void add(int x){
    int lx, i;
    while (x <= n){
        h[x] = a[x];
        lx = lowbit(x);
        for (i=1; i<lx; i<<=1)
            h[x] = max(h[x], h[x-i]);
        x += lowbit(x);
}       

显然这个算法的时间复杂度是$O((logn)^2)$

现在维护好了,问题是如何查询?

直接照搬求区间合的方法显然是不行的。

因为区间合中,要查询$[x,y]$的区间合,是求出$[1,x-1]$的合与$[1,y]$的合,然后相减就得出了$[x,y]$区间的合。

而区间最值是没有这个性质的,所以只能够换一个思路。
因为$c[y]$表示的是$[y,y-lowbit(y)+1]$的最大值(看图,就是$c[y]$的区间)。

所以,可以这样求解:

若$y-lowbit(y) > x$ ,则$query(x,y) = max( c[y] , query(x, y-lowbit(y)) )$

若$y-lowbit(y) \leq x$,则$query(x,y) = max( a[y] , query(x, y-1))$

int query(int x, int y){
    int ans = 0;
    while (y >= x){
        ans = max(a[y], ans);
        y --;
        for (; y-lowbit(y) >= x; y-=lowbit(y))
            ans = max(c[y], ans);
    }
    return ans;
}

此处可能有点难理解,多琢磨一下

蒟蒻就是会这些;

但有了这些其实可以做很多(例如,求逆序对….)

分类: 文章

4 条评论

juruo-oier · 2018年8月25日 8:29 下午

海星!
其实我写得很烂
并不能讲清楚

    XZYQvQ · 2018年8月25日 9:06 下午

    对惹。。。XZY擅自更改了您文章里的一些格式

    比如:给式子搞上了数学公式
    比如:您的boshi打错了

    然后还有一些比如 * 号两侧没打空格导致公示显示错误之类的OvO

      juruo-oier · 2018年8月25日 9:26 下午

      万分感谢。

XZYQvQ · 2018年8月25日 8:14 下午

Orz好文

(说明一下因为似乎要禁jay所以我就#define 好文 tql了)

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