废话

BSGS算法,即Baby Steps Giant Steps,又名大小步算法。
拔山盖世算法、北上广深算法
是一种基础的数论算法

问题

给出a,b,p三个整数,其中p为素数,求一个未知数x,使$a^x≡b\ mod\ p$

BSGS

对于上面那个问题,我们可以用BSGS解。
怎么解呢?

以下在扯淡:


根据老大爷交换率得出:

没错就是这么简单,化学真奇妙


以上在扯淡:

我们先设$x=i\times m-j$,$m=\sqrt {\left \lceil p \right \rceil}$
那么问题就变成了:$a^{i\times m-j}≡b\ mod\ p$
即:$a^{i\times m}\div a^j≡b\ mod\ p$
即:$a^{i\times m}≡a^j\times b\ mod\ p$
那么我们要求的就是i和j了,使得上面那个式子成立。
显然,当i更小时,x会更小,而且小得更快(相对于j的变化而言),即i的改变是大步,而j的改变时小步
根据BSGS,我们先走小步。
从0~m枚举j的取值,用哈希表保存$a^j\times b\ mod\ p$的值
再从1~m枚举i的取值,再用$a^{i\times m}$的值去哈希表里找,如果哈希表里有这个值,那么这对i和j就是我们要求的了。
而答案就是$i\times m-j$
这样做的复杂度是$O(\sqrt {\left \lceil p \right \rceil})$的!

一些讨论

  1. 无解:始终哈希表内没有找到存在的值,无解
  2. 为什么m的取值是$m=\sqrt {\left \lceil p \right \rceil}$?因为$a^{k\ mod\ p−1}≡a^k(modp)$,具体证明网上有,不做过多赘述
  3. 为什么i不能取0?因为如果i等于0可能出现解为负数
  4. 为什么先小步再大步得到的解就是最小的解?因为对x的大小影响较大的是i,i每次加1,x都会增加m,而j的取值范围是0到m,不会超过i每次+1的增幅,所以当i最小时,答案一定最小

例题

POJ – 2417 Discrete Logging
传送门= ̄ω ̄=

模板题
但是这题貌似。。。用map容易挂,用map的count函数会超时。。。所以我手动给j上1再放哈希表里,使用时再减回来,这样就能用[]运算符了(更快些)。
数据貌似。。。很水,你枚举j从1开始也行

代码(目前vjudge最短):

#include <cstdio>
#include <map>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a,b,c,m,tot,am;
map<LL,int> h;
int main()
{
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b))
    {
        m=ceil(sqrt(c)),tot=1,h.clear();
        for(int i=0;i<=m;i++)h[tot*b%c]=i+1,am=tot,tot=tot*a%c;
        tot=am;
        for(int i=1;i<=m;i++,tot=tot*am%c)
            if(h[tot])
            {
                printf("%lld\n",i*m-h[tot]+1);
                goto end;
            }
        printf("no solution\n");
        end:;
    }
    return 0;
}

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