前言

在《数学一本通》上看到了几道盒球问题,所以很好奇所有盒球问题的解法。有错误请大佬指出。

T1

题目描述:新年到了,小J的好朋友小X等n人向TA要新年礼物,小J有m块一毛一样的糖果,送给不同的n人(允许不送),有多少种送法。
题目分析:球不编号,盒子编号,允许空盒。
解题方法:设想有m个糖果排成一排,要在其中随意地插入n-1个挡板分成n个区间,表示n个礼物,那么就是说有m+n-1个位置,要选择m个位置放糖果,那么:
$$C_{m+n-1}^m$$

T2

题目描述:上次小J因为没有给小A送礼物被打了,所以今年送礼物的时候所有人都要送到哦,求有多少种送法。
题目分析:球不编号,盒子编号,不允许空盒。
解题方法:设想有m个糖果排成一排,那么每两块糖果之间有一个位置,一共有m-1种位置,这些位置放n-1块隔板就可以把糖果分成n个区间,所以:
$$C_{m-1}^{n-1}$$

T3

题目描述:上次小J因为给小F送的糖果最少被打了,所以今年送礼物的时候TA干脆装了n个盒子,有空盒,让朋友们凭运气抽一个,这样就好了吧!
题目分析:球不编号,盒子不编号,允许空盒
解题方法:假设g(i,j)表示前j个盒子放i个糖果,那么要么没空盒要么有空盒,如果有空盒,就是g(i,j-1)种,如果没有空盒,先一个盒子放一个糖果,然后其它的球瞎扔,有g(i-j,j)种。
$$g(i,j)=g(i,j-1)+g(i-j,j)$$
边界条件:如果i=0或者j=1,g(i,j)=1。如果j比i大,g(i,j)=g(i,i)

T4

题目描述:小W脸非常黑,每次小J送礼都抽到空盒,所以小J还是不装空盒了。
题目分析:球不编号,盒子不编号,不允许空盒
解题方法:就是上一题那样的递推式,但是最后的答案是g(m-n,m)哦。

T5

题目描述:大家都说小J的礼物太没有新意了!小J只好去买了m个不同的水果,往n个相同的盒子里装,不允许空盒,有多少种方法?
题目分析:球编号,盒子不编号,不允许空盒
解题方法:用f(i,j)表示前j个盒子里装前i个球的方法,那么第i个球可以装在还是空着的第j个盒子里,也可以在前j个盒子都非空的情况下随便瞎扔到一个盒子里,得到递推式子:
$$f(i,j)=f(i-1,j-1)+f(i-1,j)×j$$

T6

题目描述:小J考虑到送的人不同,还是应该在盒子上标号,求多少种送法?(依然是送水果)
题目分析:球编号,盒子编号,不允许空盒
解题方法:既然盒子编号了,那么f还是T5的f,最后答案就是:
$$f(n,m)×(n!)$$

T7

题目描述:小J因为送礼的问题如此头痛,以至于TA今年不想送礼了!TA把买来的m个不同的水果随机的往前面的相同的n个礼物盒里砸,由于脸白,TA不会扔到礼物盒外,求最后小J可能扔出几种情况
题目分析:球编号,盒子不编号,允许空盒
解题方法:不空(考虑n个盒子),空一个盒子(考虑剩下的n-1个盒子),空两个盒子(考虑剩下的n-2个盒子)…..得到答案为(f还是那个f):
$$\sum_{i=1}^m f(n,i)$$

T8

题目描述:小T其实早已帮小J把盒子编号了…那么小J可能扔出几种情况呢?
题目分析:球编号,盒子编号,允许空盒
解题方法:小J的心情很不好是不是?他扔一个水果过去,水果可能落在n个礼物盒的任一个里对吧?所以有n种情况对吧,每一次都是n种对吧?所以答案就是:
$$n^m$$

后记

小J由于不送礼被打死没就不是我可以知道的事了。

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litble

苟...苟活者在淡红的血色中,会依稀看见微茫的希望

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