题目描述

小J开了一家科技公司,他的核心团队里有小X,小A,小W等m人,为了保密需要,小J想要只有当n个人到场的时候才能打开核心机密保险柜,那么请问:
(1)小J要在保险柜上装多少把锁?
(2)每个人分配多少把钥匙?
(3)要怎么分配?
例如当m=4(小J,小X,小A,小W),n=2,则可以装4个锁,如下分配钥匙:

钥匙 小J 小X 小A 小W
1
2
3
4

题目分析

首先利用抽屉原理可知,对于每一把钥匙,从m个人里任意取n个人肯定至少有一人有那把钥匙的话,至少要配$m-n+1$把钥匙。
然后看着样例,我们可以大胆地设想一下对于每把锁,是哪几个人拥有这把锁的钥匙的情况都是不同的。再转念一想,假如有n-1个人来到了核心机密保险柜面前(就是前n-1个人好了),那么所有锁的钥匙拥有情况就是在m个物品里面取$m-n+1$个的所有情况,其中肯定有一种情况是前$n-1$个物品不取,也就是有一把锁前n-1个人打不开。
那么就有$C_{m}^{m-n+1}$把锁,这样的话,要配的钥匙总数就是:$C_m^{m-n+1}*(m-n+1)$把
钥匙总数除以m就是每个人拥有的钥匙数量:
$$\frac{C_m^{m-n+1}×(m-n+1)}{m}=\frac{m!}{(m-n+1)!(n-1)!}* \frac{m-n+1}{m}=\frac{(m-1)!}{(m-n)!(n-1)!}$$
即:$C_{m-1}^{n-1}$把
如有错误,请大神指出。

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litble

苟...苟活者在淡红的血色中,会依稀看见微茫的希望

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